Das große Münzwerfen: Ein königliches Experiment
Ein eitler König lässt zu seinem 50. Geburtstag neue Münzen prägen, die auf einer Seite sein Konterfei zeigen. Er ordnet an, dass alle Bewohner des Königreichs eine Münze so lange werfen müssen, bis das Porträt des Herrschers oben liegt. Die Ergebnisse jedes Wurfs sollen auf einem Zettel notiert werden: also etwa Kopf, falls nur ein Wurf nötig war, oder Zahl – Zahl – Kopf, falls erst beim dritten Wurf Kopf erscheint. Der König sammelt alle Zettel ein und beauftragt seinen Finanzminister mit einer statistischen Auswertung.
Die gegensätzlichen Erwartungen
Der König ist überzeugt, dass sein Konterfei häufiger zu sehen sein wird als die Zahlseite. Der Finanzminister hingegen bemerkt bei einer ersten Durchsicht der Zettel, dass auf jedem Zettel genau einmal Kopf, aber oft mehrmals Zahl notiert ist. Daher glaubt er, dass die Zahlseite insgesamt häufiger vorkommt. Doch wer hat recht?
Die überraschende Lösung
Die richtige Antwort lautet: Kopf und Zahl treten gleich häufig auf. Dieses Ergebnis wirkt zunächst kontraintuitiv, denn auf den ersten Blick scheint die Zahlseite aufgrund der mehrfachen Würfe überlegen zu sein. Doch eine schrittweise Betrachtung der Würfe offenbart die wahre Verteilung.
Jeder Bewohner muss die Münze mindestens einmal werfen. Beim ersten Wurf ist die Wahrscheinlichkeit für Kopf und Zahl gleich groß: 50 Prozent. Die Hälfte der ersten Würfe zeigt Kopf, die andere Hälfte Zahl. Nur diejenigen, die beim ersten Wurf Zahl erhalten, werfen ein zweites Mal. Auch beim zweiten Wurf ist die Verteilung wieder 50:50 – die Hälfte dieser zweiten Würfe zeigt Kopf, die andere Hälfte Zahl. Dieser Prozess setzt sich bei jedem weiteren Wurf fort: In jeder Runde kommen gleich viele Kopf- wie Zahlseiten hinzu, da jeweils die Hälfte der noch werfenden Personen Kopf und die andere Hälfte Zahl erhält.
Daher bleibt das Verhältnis von Kopf zu Zahl über alle Würfe hinweg ausgeglichen bei 50 zu 50. Der König und der Finanzminister liegen also beide falsch in ihrer Annahme – die Münzseiten sind gleich häufig vertreten.
Ein eleganter Beweis
Dieses Rätsel wurde im YouTube-Kanal MindYourDecisions vorgestellt, wo auch ein weiterer eleganter Beweis für die Gleichverteilung gezeigt wird. Das Rätsel veranschaulicht auf unterhaltsame Weise, wie unsere Intuition uns in Wahrscheinlichkeitsfragen in die Irre führen kann.
